Corpus Mathematicum der Höheren Mathematik

Die Komplementmenge

2011-12-11T08:32:00.000-08:00

Definition:	Was ist eine Komplementmenge?
	Eine Komplementmenge ist die Menge einer bestimmten Grundmenge G ohne die Elemente ihrer Teilmenge T. Symbol

Wichtig ist hier, es muss eine Grundmenge vorhanden sein, und darin ist eine Teilmenge enhalten. Die Menge, die außerhalb dieser Teilmenge liegt, bezeichnet man als Komplementmenge (Ergänzungsmenge). Um das zu betonen, schreibt man über den Teilmengennamen einen Querstrich. Die Teilmenge kann auch anders heißen als T.

Symbol

(sprich "T quer")

In einem Venndiagramm sieht das so aus:

[Abb. 4] Komplementmenge

Mann erkennt sehr schön, dass sich die Komplementmenge außerhalb der Teilmenge befindet.

Beispiel

G = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}

T = {1, 3, 7}

= {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9} \ {1, 3, 7} =

{1, 2, 3, 4, 7, 8, 9} = {2, 4, 8, 9}

Man streicht aus der Grundmenge G alle Elemente, die zur Teilmenge T gehören. Es bleibt dann die Komplementmenge übrig.

Die Restmenge

2011-12-11T08:27:00.000-08:00

Definition:	Was ist eine Restmenge?
	Eine Restmenge ist die übrig gebliebene Menge aus einer Differenz zweier Mengen. Symbol \

Aus einer bestimmten Menge sollen alle Elemente entfernt werden, die eine andere Menge auch hat, die beide Mengen gemeinsam haben. Übrig bleiben sollen alle Elemente der einen Menge ohne die gleichen Elemente einer anderen Menge.

Symbol \

(sprich "ohne")

In einem Venndiagramm sieht das so aus:

[Abb. 3] Restmenge

Beispiel

M₁ = {1, 2, 3, 4}

M₂ = {1, 3, 7, 8, 9}

R = M₁ \ M₂ = {1, 2, 3, 4} \ {1, 3, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4} = {2, 4}

Wie ermittelt man die Restmenge R der ersten Menge? Man geht schrittweise vor, indem man die gemeinsamen Elemente der beiden Mengen rausstreicht. Die übrig gebliebenen Elemente der ersten Menge gehören dann zur Restmenge.

Die Vereinigungsmenge

2011-12-11T08:25:00.000-08:00

Definition:	Was ist eine Vereinigungsmenge?
	Eine Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen der beiden vereinigten Mengen. Symbol ∪.

Wenn sich zwei Mengen überlappen, können sie einige Elemente doppelt haben. Das ist aber nicht schlimm. Doppelt vorkommende Elemente werden ja nur als ein Element betrachtet.

Symbol ∪

(sprich "vereinigt mit")

Im einem Venndiagramm sieht das so aus:

[Abb. 2] Vereinigungsmenge

Die rote Menge ist die Vereinigungsmenge der beiden Mengen rechts und links.

1. Beispiel

M₁ = {1, 2, 3, 4}

M₂ = {1, 3, 7, 8, 9}

V = M₁ ∪ M₂ = {1, 2, 3, 4} ∪ {1, 3, 7, 8, 9} = {1, 1, 2, 3, 3, 4, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}

In der Vereinigungsmenge V sind die Elemente 1 und 3 doppelt. Sie zählen jeweils nur als ein Element, deshalb wurde jeweils die Zwillungszahl gestrichen.

2. Beispiel

M₁ = {1, 2, 3, 4}

M₂ = { }

V = M₁ ∪ M₂ = {1, 2, 3, 4} ∪ { } = {1, 2, 3, 4}

Bei der Vereinigung einer Menge mit einer leeren Menge bleibt alles beim Alten. Die Menge wird dadurch nicht größer. Das ist wie bei der Null. Addiert man sie zu einer beliebigen anderen Zahl, wird die Summe auch nicht größer.

Die Schnittmenge

2011-12-11T08:22:00.000-08:00

Definition:	Was ist eine Schnittmenge?
	Eine Schnittmenge besteht aus Elementen, die die beide Mengen gemeinsam haben. Symbol ∩

Wenn sich zwei Mengen überlappen, können sie einige Elemente gemeinsam haben. Das nennt man Schnittmenge.

Symbol ∩

(sprich "geschnitten mit")

In einem Venndiagramm sieht das so aus:

[Abb. 1] Schnittmenge

Die rote Menge ist die Schnittmenge der beiden Mengen rechts und links.

Beispiel

M₁ = {1, 2, 3, 4}

M₂ = {1, 3, 7, 8, 9}

S = M₁ ∩ M₂ = {1, 2, 3, 4} ∩ {1, 3, 7, 8, 9} = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9}

Die beiden Mengen haben nur die Elemente 1 und 3 gemeinsam. Das ist die Schnittmenge S.

Gegenbeispiel

M₁ = {1, 2, 3, 4}

M₂ = { 7, 8, 9, 10, 11}

S = M₁ ∩ M₂ = {1, 2, 3, 4} ∩ { 7, 8, 9, 10, 11} = { }

Die beiden Mengen haben keine Elemente gemeinsam. Sie sind "elementefremd" (Fachbegriff: disjunkt). Die Schnittmenge S ist leer.

Was ist eine Teilmenge?

2011-12-11T08:18:00.000-08:00

Definition:	Was ist eine Teilmenge?
	Eine Teilmenge ist in einer anderen Menge enthalten. Symbol ⊆

Die Teilmenge kann so groß sein wie die Menge, in der sie enthalten ist. Dann sind beide Mengen gleich. Für diesen Zweck benutzt man das Symbol mit einem Strich unten ⊆. Vergleichen Sie das mit dem Gleichheitszeichen =. Statt des oberen Strichs gibt es bei dem Teilmengensymbol einen Bogen.

Will man eine echte Teilmenge haben, dann benutzt man das Symbol ⊂. In diesem Fall darf die Teilmenge nie so groß werden wie die andere Menge, in der sie enthalten ist. Das ist oft unpraktisch. Es behindert ein schönes Beweisverfahren. Denn man kann durch den Vergleich zweier Teilmengen herausbekommen, ob sie gleich sind.

Eine wichtige Erkenntnis ist: Wenn zwei Mengen ineinander enthalten sind, müssen sie gleich sein.

( M₁ ⊆ M₂ und M₂ ⊆ M₁ ) ⇔ ( M₁ = M₂ )

(sprich: M₁ ist in M₂und M₂ ist in M₁ enthalten.

Dies ist gleichwertig mit M₁ ist gleich M₂)

_{Das Symbol ⇔ bedeutet "gleichwertig" (Fachbegriff: äquivalent).}

Beispiel

M₁ = {1, 2, 3}

M₂ = {1, 2, 3}

M₁ ⊆ M₂ und M₁ ⊇ M₂

Beachten Sie die Richtung des Teilmengensymbols ⊆ bzw. ⊇. Die Teilmenge steht immer vor dem Bogen ⊂.

Offensichtlich ist die erste Menge in der zweiten Menge vollständig enthalten und umgekehrt. Also sind beide Mengen gleich. Sie enthalten die gleichen Elemente.

Dieses Vergleichsprinzip wird für Beweise benutzt, wenn man auf die Mengengleichheit testet.

Gegenbeispiel

M₁ = {1, 2, 3}

M₂ = {1, 2, 3, 4}

M₁ ⊆ M₂ und M₂ ⊄ M₁

Das Symbol ⊄ bedeutet: "ist keine Teilmenge von".

Die zweite Menge kann keine Teilmenge der ersten Menge sein, weil sie um ein Element größer (verschieden) ist. Deshalb sind beide Mengen ungleich.

Was ist eine Menge?

2011-12-11T08:03:00.000-08:00

Definition:	Was ist eine Menge?
	Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten eindeutig unterschiedbaren Objekten, die Elemente genannt werden. Symbol {...}

Schon bei der Mengenlehre wollen die Mathematiker klare Verhältnisse schaffen. Gleiche Objekte, und wenn sie millionenfach vorhanden sind, gelten nur als ein einziges Objekt. Es wird dann Element genannt. An welcher Stelle ein Element in der Menge auftaucht, ist völlig belanglos.

Ich habe einige bekannte Tiere herausgesucht und sie zu einer Menge zusammengefasst.

Die Menge M dieser Säugetiere besteht aus k (Kuh), n (Nilpferd), g (Giraffe), p (Pavian), l (Löwe). Das schreibt man in der Mathematik so:

M = {k, n, g, p, l }

(sprich: M besteht aus k, n, g, p, l)

Die Elemente werden innerhalb der geschweiften Klammern aufgelistet. Sie werden meistens mit kleinen Buchstaben geschrieben. Der Name der Menge wird allgemein mit einem großen Buchstaben geschrieben. Das erhöht die Lesbarkeit.

Man könnte die Elemente auch sortieren:

M = {g, k, n, l, p }

Dadurch hat sich nichts geändert.

Doppelte oder mehrfache gleiche Elemente gelten nur als ein Element.

M = {g, k, n, l, p } = {g, g, k, k, k, l, p, p}

Besser ist es, solche Dopplungen zu vermeiden, sonst leidet darunter die Lesbarkeit.

Wenn ein Element zu einer Menge gehört, nimmt man das Kurzzeichen ∈. Es ist der Anfangsbuchstabe des Begriffs "Element", nur runder geschrieben. Dieser Buchstabe erinnert an den griechischen Buchstaben Epsilon ε.

k ∈ M

(sprich: k ist Element von M)

Nun zeige ich, dass es auch Elemente gibt, die nicht zu einer bestimmten Menge gehören.

Der Vogel Strauß soll als Element v heißen. Er ist bekanntlich kein Säugetier, gehört also nicht zur Menge der Säugetiere. Das schreibt man so:

v ∉ M

(sprich: v ist kein Element von M)

Der Schrägstrich macht das Element zu einem Nicht-Element. Das ist wie in einer Mathearbeit. Man streicht, was nicht mehr gelten soll.

Definition:	Was ist eine leere Menge?
	Eine leere Menge enthält keine Elemente. Symbol { } oder ∅

Hat man keinen Cent in der Tasche, dann hat man eben nichts. Mehr gibt es dazu nicht zu sagen.

Mathematische Wunderkinder

2008-10-19T02:05:00.000-07:00

Mathematische Wunderkinder stehen immer im Mittelpunkt des öffentlichen Interesse und sind einen Artikel in den Medien wert, sei es in Zeitung, Zeitschriften oder Internet. Der Tenor der jeweiligen Mitteilungen ähnelt sich stark. Hier gibt es einen Wunderknaben in der Mathematik und dort steht ein staunendes und ihn bewunderndes Publikum, das sich dabei mehr oder weniger gruselnd an den eigenen Mathematik-Unterricht in der Schule erinnert. Darauf kann man als Journalist eine schöne Story mit einer gewissen Würze an Außergewöhnlichkeit und Unnormalität aufbauen.

Mein Post soll diese Art von Berichterstattung nicht fortsetzen und auf der gleichen Schiene fahren, Bewunderungsstürme und Applaus hervorzurufen. Auch ist es nicht meine Intention, die erstaunlichen Fähigkeiten so junger Menschen herabwürdigen. Was ich eigentlich ausdrücken möchte, erschließt sich erst später. Also zunächst die Definition, was denn eigentlich ein Wunderkind ist.

"Wunderkinder sind Menschen, die schon als Kind erstaunliche Fähigkeiten zeigen (oder zeigten, denn die Bezeichnung haftet ihnen ein Leben lang an). Die Kinder weisen für ein bestimmtes Gebiet ein ungewöhnliches Verständnis und Talent auf, z.B für Kunst, Musik, Mathematik oder Sprache." [Universität Ulm, 2008]

Wunderkinder gibt es aber nicht in allen Bereichen der menschlichen Kulturwissenschaften. Sie sind auf einem eng begrenzten Terrain anzutreffen, wie untersucht wurde:

"Wunderkinder sind fast ausschließlich auf die Bereiche Mathematik, kognitive Brettspiele wie Schach und die Musik beschränkt. In anderen Fächern wie z.B. Literatur, Philosophie, Kunst oder Musik sind keine Wunderkinder bekannt." [Universität Ulm, 2008]

Wie unterscheiden sich die Fähigkeiten und Leistungen der Wunderkinder von den äquivalenten Fähigkeiten und Leistungen Erwachsener, die sie auf "normalem" Weg erworben haben? Auch darüber gibt die Universität Ulm Auskunft:

"Wunderkinder erreichen keinesfalls das Niveau von erwachsenen Experten und sind nur relativ zu ihrer Altersgruppe gut. Ein paar Studien haben ihre neurologische Aktivität erforscht." [Universität Ulm, 2008]

Das hätte ich jetzt nicht gewusst und bin selbst erstaunt. Wunderkinder erreichen also trotz ihrer mentalen Frühreife und ihres Frühwissens nicht "das Niveau von erwachsenen Experten".

Welch ein Tiefschlag gegen die allgemein verbreitete Neigung Wunderkinder wie "Wundererwachsene" zu betrachten! Nur "relativ zu ihrer Altergruppe" sind sie also "gut". So mancher wünscht sich, so zu sein wie sie und schaut neidvoll auf sie.

Durch diese wissenschaftliche Studie bin ich neugierig geworden und habe nach Berichten über Wunderkinder Ausschau gehalten, welche psychischen Belastungen und Anomalitäten sie haben, obwohl ihre Eltern und auch sie sich selber gerne als "normal" bezeichnen.

Ein Zehnjähriger ist schon soweit, "richtig" Mathematik zu studieren.

"Kurz vor Ende seines zweiten Jahres am College büffelt Moshe Kai Cavalin für die Abschlussexamen in Fächern wie Mathematik, Fremdsprachen und Musik." [sueddeutsche.de, 2008]

Der Artikel über ihn ist sehr euphorisch. Was ich Interessantes für die "normalen" Mathematik-Studenten entnehmen konnte, ist "mentale Hürden" abzubauen und mathematische Zusammenhänge nicht "schwieriger" zu machen als "es tatsächlich der Fall ist".

"'Er sieht die Dinge sehr einfach', sagt Statistikprofessor Judge. 'Die meisten Studenten glauben, dass die Dinge schwieriger sind, als es tatsächlich der Fall ist, und sie bauen mentale Hürden vor sich auf. Moshe schaut einfach durch das Komplizierte hindurch. Es ist in keiner Weise geheimnisvoll, aber zugleich trotzdem erstaunlich.'" [sueddeutsche.de, 2008]

Einfach zu denken, sich Zusammenhänge mit Beispielen klar zu machen und sich vorzustellen, was eigentlich komplizierte statistische Formeln berechnen sollen, führt zum Erfolg, wie der Zehnjährige demonstriert. Eine gewisse Übung und ein Training, die Formeln mit Zahlen zu füllen, darf nicht fehlen.

Ein anderes Wunderkind machte schon mit 13 den Hochschulabschluss, aber:

"Seine geistige Entwicklung sei freilich schwieriger zu bestimmen, meint Gregorys Mentor, der Psychologieprofessor Michael Wessells. 'Er hat in der Zeit bei uns viel größere Fortschritte gemacht als irgendjemand anders.'

Schon bei seinem Collegeeintritt sei er seinen viel älteren Kommilitonen intellektuell weit voraus gewesen. Aber dem fröhlichen Jungen hätte es an Lebenserfahrung und kulturellem Verständnis gefehlt." [stern.de, 2003]

So mancher liest bei solchen Artikeln schnell weiter, doch machte mich die Aussage des Psychologieprofessor stutzig. Er sagte, dass es dem "fröhlichen Jungen [...] an Lebenserfahrung und kulturellem Verständnis gefehlt" habe.

Ich glaube nicht, dass der Professor dies aus einer persönlich gefärbten negativen Absicht erwähnt, sondern stelle das in das oben skizzierte Studienergebnis der Universität Ulm, wonach es Wunderkinder sehr häufig im Bereich der Mathematik und verwandter Gebiete gibt, aber keine in den kulturellen Wissenschaften.

Da stellt sich bei mir die Frage, ist es überhaupt wünschenswert, Kinder, die offensichtlich eine besondere Begabung haben, so früh zu fördern, vor allem nur auf ihrem eingegrenzten Gebiet wie Erwachsene zu behandeln, aber andere psychosoziale Komponenten außer Acht zu lassen?

Die Eltern solcher Wunderkinder behaupten immer, sie würden ihre Kinder ja nicht überfordern, sie täten das freilich aus sich heraus, weil es ihnen Spaß mache usw., doch lassen die Studien an Wunderkindern keinen anderen Schluss zu, dass sie einseitig exzellente Leistungen erbringen, doch ihre Persönlichkeitsentwicklung verkümmert. Sie werden um eine "normale" Kindheit und Jugend "betrogen", haben nicht genügend soziale Kontakte zu Gleichaltrigen und sind auf Erfolg auf einem bestimmten Gebiet getrimmt bzw. verdammt, auch durch eigene übersteigerte Forderungen und das Bedürfnis, den Erwartungen der näheren Umwelt zu genügen.

Wunderkinder sollten in erster Linie als "Kinder" betrachtet werden, die kindliche Bedürfnisse haben, die viel Zeit zum Spielen brauchen, die Muße brauchen, ohne Leistungsdruck, ohne "gut" in der Schule zu sein, ohne den Erwartungen der Eltern und Lehrer zu genügen. Wenn sich ein Kind als Kind mit besonderen Fähigkeiten entpuppt, sollte dies kein Hallali für die elitären Wissenschaftsansprüche einer verkopften Gesellschaft sein, die Gelder aus dem Wissenschaftapparat sprudeln lässt und Politiker zum Profilierungsgehabe in der Öffentlichkeit verführt.

Investition in die Bildung ist natürlich notwendig, aber nicht um jeden Preis, um den Preis einer gestohlenen Kindheit oder Jugend, nicht nur bei den wenigen Wunderkindern, sondern auch bei der breiten Masse der Schüler, die in einen Zwangsapparat überkommener Bildungsideale gesteckt werden.

Ohne eine Ausbildung der Persönlichkeit, ohne die Einbeziehung der Ethik, ohne das gute Vorbild der Lehrer an Manieren und innerer Wärme lassen sich Ameisenschüler produzieren, die ein "gutes" Zeugnis erhalten, also nach gesellschaftlichen Vorgaben "erfolgreich" waren und eine berufliche Ausbildung oder ein Studium beginnen können. Sie haben es "geschafft", den Vorgaben einer entseelten Konsumgesellschaft zu genügen, ihre angepassten Mitglieder geworden zu sein, die sich gutwillig in den Produktionsprozess einfügen, geboren werden, leben, Kinder zeugen oder gebären und dann sterben.

Diese Gedanken sind mir gekommen, als ich die Autobiografie des Mathematikers Norbert Wiener las. Darüber gibt es auch ein hörenswertes Feature-Script als mp3-Datei aus dem Internet [Kurz und Koubek, 2004]. Ich bevorzuge die langsame Lesevariante der 310 Seiten, die man bequem in drei Tagen durchlesen kann. Man ist dadurch näher am Stoff und kann länger darüber nachdenken, als dies bei einem kurzen Hörspiel möglich ist.

Wie Norbert Wiener von seinem Vater als Kind behandelt (oder sollte man besser misshandelt sagen) wurde, lesen wir jetzt:

"Entsprechend seiner Ankündigung ließ der Vater seinen Sohn ab der Vollendung seines ersten Lebensjahres häuslich unterrichten. Schon als dreijähriges Kind konnte Norbert lesen und schreiben. Entsprechend den Wünschen des linguistisch außerordentlich begabten Vaters, wurde er von frühster Jugend an mit vielen Sprachen aufgezogen." [Kurz und Koubek, 2004]

Ich war erschreckt über die aggressiven Erziehungsmethoden des Vaters:

"Meine Stunden endeten in einem Familienkrach. Vater tobte, ich weinte, und meine Mutter tat ihr bestes, mich zu verteidigen, doch sie stand auf verlorenem Posten. Manchmal wies sie darauf hin, daß der Krach die Nachbarn störte und sie sich an der Tür beschwert hätten." [Kurz und Koubek, 2004]

Der kleine Wiener wurde als "Rindvieh, "Esel" [Wiener 1965, Seite 14] beschimpft. Einfach schrecklich! Er lernte zwar wie ein Berserker und promovierte schließlich mit 19 an der Harvard Universität, aber um welchen Preis? Seinen Angaben zufolge eckte er dauernd bei anderen Mathematikern an, war sich aber keiner Schuld bewusst. Das geschah nicht nur einmal, sondern sein Leben lang. Er unterteilte in seiner Autobiografie die Mathematiker in Gut und Böse, die ihm angeblich wohl gesonnen waren oder die ihn ablehnten. Er schafft es nicht, beim Leser Sympathie zu erzeugen, vielmehr ist man zunehmend gelangweilt über sein Selbstlob. Am Schluss des Buches versucht er seitenlang den Leser seine Kybernetik zu erklären und schweift ab vom rein Persönlichen. Seine Frau und seine Kinder kommen nur schemenhaft vor. Witzige Ereignisse kann er nicht schildern.

Sein Sozialverhalten war unreif und änderte sich nicht bis zu seinem Tod. Er war sogar so übertrieben ehrgeizig, dass er zwei Doktoranden, die auf dem gleichen mathematischen Gebiet forschten wie er, die Chance nahm, ihre Ergebnisse in ihrer Dissertation zuerst zu veröffentlichen, was einen großen Ärger und Zwist zwischen ihm und ihren Doktorvater hervorrief.

Dabei hätte es Wiener gar nicht nötig gehabt, so vorzugehen. Er war doch schon eine anerkannte Kapazität. Doch er gönnte anderen nicht ihren Ruhm, wollte ihn selber haben, was an sich nicht verwerflich ist, aber die Art und Weise, wie er die beiden Doktoranden überfuhr, zeigt hinreichend seine gestörte Persönlichkeitsentwicklung in der Kindheit und Jugend.

Ein anderes Index für die angeschlagene Psyche Wieners ist die Tatsache, dass er sich als 42-jähriger in psychologische Betreuung [Wiener 1965, Seite 174] begab.

Bei der Vorstellung von Wunderkindern werden solche negativen Details aus ihrem Leben gerne ausgeblendet und nur die biografischen Fakten dargestellt.

Ein anderes Beispiel für ein Wunderkind:

Der Mathematiker Grigorij Jakowlewitsch Perelman hatte 2005 fast im Alleingang die Poincaré-Vermutung gelöst, an der sich die Fachwelt hundert Jahre lang vergeblich abgearbeitet hatte. Dafür sollte er die Fields-Medaille bekommen, den wichtigsten Preis der mathematischen Welt. Doch er nahm sie nicht an, blieb den Feierlichkeiten fern. Auch in seinem Institut hatte er "Ärger" gemacht und war ein krasser egozentrischer Außenseiter, der sich nur um ich selbst kümmerte, ohne Rücksicht auf den Lehrbetrieb und die Kollegen.

Serge Rukschin, ein Kollege von Perelman ("Grischa"), sagte:

"»Das Theorem ist für ihn keine Ware gegen Geld, sondern ein ästhetischer Wert wie ein Cranach-Bild in der Alten Pinakothek in München«, sagt Serge Rukschin. Deshalb habe »Grischa« auch nie an seine Karriere gedacht, genauso wenig, wie er sich um gekämmte Haare oder seine Rasur kümmere, von Geld und Auslandsreisen ganz zu schweigen. " [Zeit online, 2006]

Wie man sieht, haben es Wunderkinder nicht leicht, vor allem mit sich selbst, wenn man ihre Persönlichkeit nicht formt, sie nicht wie andere Kinder auch reifen lässt, sondern sich wie die Geier auf sie stürzt und in den universitären Lehrbetrieb einfügt, wo sie noch nicht reingehören. Sie sind ja nicht fürs Studium verloren! Aber sie zu früh wie Erwachsene zu behandeln, ist ein Fehler.

Wie ein normales Mathematikstudium aussieht, habe ich den Anmerkungen eines Studenten im Internet entnommen, der schreibt:

"Das Mathe-Studium ist kein leichtes Studium. Ich studiere im Moment Mathe im 5. Semester auf Lehramt.
...
In der ersten Vorlesungsstunde hat der Prof nur gesagt: 'Schauen Sie nach rechts und nach links. Einen dieser Zeitgenossen werden Sie zu Weihnachten nicht wiedersehen.'

Und so war es dann auch. Von anfänglich 350 waren nach 2 Semestern 180 übrig. Nach der Zwischenprüfung dürften es dann nochmal einige weniger geworden sein.

Allgemein wird behauptet, etwa 20% der Studienanfänger schaffen den Abschluss." [www.uniprotokolle.de, 2007]

Warum so wenige Studenten den Abschluss schaffen, liegt an der unterschiedlichen Lehrweise und den unterschiedlichen Anforderungen zwischen Schule und Hochschule.

"Aber sonst: kein Vergleich zur Schulmathematik, das Schwierigste in der Schule wird hier mal so nebenbei als Beispiel zu einem komplizierten, abstrakten Sachverhalt aufgeführt." [ibidem]

Unser Student gibt eine Analyse, wie man das Mathematikstudium schafft:

Einen IQ von über 120. Denn Uni-Mathe besteht nicht aus Rechnen, sondern aus logischem Denken und Kombinieren, aus der Fähigkeit, abstrakte Sachverhalte zu erfassen ...
Wenn du beabsichtigst, deine Arbeitsanstrengungen zum Studium hin im Vergleich zur Schule nicht WESENTLICH zu erhöhen, solltest du im Schnitt in der Oberstufe 11 oder mehr Punkte in Mathe erreicht haben ... Denn etwa in Analysis 1 ist die Fähigkeit, z.B. zu differenzieren und zu integrieren, doch von großer Bedeutung.
Du musst neben mathematischem Interesse auch die Fähigkeit zu ausdauerndem Arbeiten mitbringen, denn die Übungsaufgaben lösen sich nicht mal einfach so im Vorbeigehen ... Dann knobelst du so lange herum, bis du etwas findest, was schon in 10 Minuten sein kann, aber auch erst nach TOTLANGWEILIGEN 4 Stunden.
Fähigkeit zu abstraktem Denken. Anders als in der Schule kann man sich die Sachverhalte in so gut wie allen Fällen nicht mehr anschaulich vorstellen. Oder wie will man sich n Dimensionen vorstellen? Damit muss man sich dann zufrieden geben und mit der Strukur, wie sie gegeben ist, weitermachen ... [www.uniprotokolle.de, 2007]

Die höhere Mathematik besteht also nicht aus bloßem Rechnen, wie man das von der Schule her gewohnt ist, sondern im Erkennen von Strukturen, Zusammenhänge, das Umgehen mit abstrakten Symbolen und ebenso abstrakten Sachverhalten, die keine "praktische" Bewandtnis haben. Das Bemühen, Mathematik auch immer praktisch anwenden zu können, ist ein Hemmschuh für das mathematische Denken.

Auch ohne Wunderkinder zu sein, sind "normale" Studenten befähigt, Mathematik erfolgreich zu studieren, wenn sie entsprechend ihr Gehirn schulen. Eine solche Schulung kann auch durch das "Hören" von Mathematik geschehen, wie Norbert Wiener schreibt:

"Mein Vater setzte den Unterricht in Algebra und Geometrie mündlich fort. Diese Zeit der Schulung durch das Ohr statt durch das Auge ist für mich sehr wertvoll gewesen, denn sie zwang mich, meine Mathematik im Kopf zu bewältigen." [Wiener 1965, Seite 15]

Ich versuche das auch. Bei Mengenoperationen stelle ich mir geistig vor, wie die Mengen vereinigt, anders eingeteilt werden, wie sich die Komplementmengen verteilen, wie sich diese Mengen schneiden. Das ist mir anfangs schwer gefallen, jetzt "sehe" ich aber z.B. die Distribution der De-Morganschen Gesetze.

Rechnen zu trainieren, ist eine wertvolle Vorbereitung auf die höhere Mathematik. So schreiben zwei Rechentrainer:

"'Schlag auf Schlag' war eine Übungsform, die mein Mathematiklehrer Herr Münzberg dann einsetzte, wenn wir etwas Neues nicht genug zu Hause geübt hatten. Es ging darum, am Anfang der Unterrichtsstunde innerhalb von 5 Minuten 10 Miniaufgaben zu lösen. (Ja, das sind genau 30 Sekunden pro Aufgabe, ist so ähnlich wie Blitzschach.) ...

Die Noten waren meistens wenig schmeichelhaft. Doch danach konnten wir ableiten oder Quadrantenrelationen o.ä. ausrechnen und haben die wirklich wichtigen Prüfungen besser bestanden." [Gerlach und Steuer 2002, Seite 7]

Es genügt aber nicht, dabei stehen zu bleiben, doch als Vorbereitung und Handwerkszeug für die höhere Mathematik ist dieses Verfahren gut geeignet. Die Mathematik und ihre Theoreme nach ästhetischer Gesichtspunkten zu betrachten und zu genießen wie ein "Cranach-Bild", das wäre doch toll. Wenn das ein Lehrer seinen Schülern oder ein Professor seinen Studenten vermitteln und damit begeistern würde, gäbe es viel mehr Interesse an dieser außerordentlich beeindruckenden Geisteswissenschaft.

Literatur

Gerlach, Silvio und Steuer, Christian. 2002. Rechentrainer, Schlag auf Schlag - Rechnen bis ich's mag. Berlin : Studio Verlag, 2002. Bd. 1. Auflage, Über 2000 Aufgaben mit Lösungen zum Trainieren wichtiger Rechenregeln für Klausur an Schulen und Hochschulen. ISBN 3 936875-01-4.
-
Kurz, Constanze und Koubek, Jochen. 2004. Norbert Wiener und die Kybernetik, Feature-Skript. [Online] 02. 07. 2004. [Zitat vom: 19. 10. 2008.] Alcatel-Tagung: Kybernetik - Geschichte einer transdisziplinären Anstrengung. http://46halbe.org/wiener.html
-
stern.de. 2003 . Wunderkind Gregory Smith, Nächstes Ziel: Präsident der USA. [Online] 22. 04. 2003 . [Zitat vom: 19. 10. 2008.] Seine erste Matheaufgabe löste er mit 14 Monaten, und im Alter von 13 Jahren macht er den Hochschulabschluss. http://www.stern.de/wirtschaft/arbeit-karriere/:Wunderkind-Gregory-Smith-N%E4chstes-Ziel:-Pr%E4sident-USA/506961.html?eid=506159
-
sueddeutsche.de. 2008. Amerikanisches Wunderkind, Zehnjähriger will Astrophysik studieren. [Online] 23. 05. 2008. [Zitat vom: 19. 10. 2008.] Schon in der Grundschule wusste er mehr als seine Lehrer und gab 20-Jährigen Nachhilfe. http://www.sueddeutsche.de/jobkarriere/artikel/701/176171/?page=2
-
Universität Ulm. Landesweite Beratungs- und Forschungsstelle für Hochbegabung, Wunderkinder. [Online] [Zitat vom: 19. 10. 2008.] http://www.informatik.uni-ulm.de/t3-sfp/index.php?id=243
-
www.uniprotokolle.de. 2007. Die Adresse für Ausbildung, Studium und Beruf, von Ph1. [Online] 13. 01. 2007. [Zitat vom: 19. 10. 2008.] Foren-Übersicht -> Studium allgemein -> Mathematik Studium. http://www.uni-protokolle.de/foren/viewt/2678,90.html.
-
Wiener, Norbert. 1965. Mathematik - Mein Leben. Frankfurt am Main, Hamburg : Fischer Bücherei KG, 1965. Deutsche Übertragung der Originalwerke 'Ex-Prodigy' und 'I am a Mathematician' von 1956.
-
Zeit online. 2006. Mathematik, Das verschwundene Genie, von Ulrich Schnabel und Johannes Voswinkel. [Online] Nr. 35, 24. 08. 2006. [Zitat vom: 19. 10. 2008.] Der Mathematiker Grigorij Perelman hat ein Jahrhundertproblem gelöst und bekommt dafür die Fields-Medaille. Doch er lehnt den höchsten Preis der Zunft ab. http://www.zeit.de/2006/35/Mathe-Perelman?page=1

Die Ethik des Mathematikers

2008-10-11T07:08:00.000-07:00

Viele Mathematikstudenten haben nur unklare Vorstellungen davon, was sie später beruflich mit ihren Kenntnissen und ihrer Art zu denken anfangen können.

Das mathematische Institut der Universität Heidelberg machte zusammen mit dem Hochschulteam Arbeitsamt eine Veranstaltung mit dem Titel "Mathematiker im Beruf".

"Nach einer kurzen Einführung ... wurde in insgesamt sechs Vorträgen darauf eingegangen, wie der persönliche Werdegang der Gäste vom Studium über den Berufseinstieg bis zum heutigen Zeitpunkt verlief, was ihre Tätigkeit mit Mathematik zu tun hat und inwiefern ihnen die mathematische Ausbildung in ihrem Beruf zugute kommt." [Pressestelle der Universität Heidelberg, 2000]

Dabei wurde klar, "dass der Einsatz mathematischer Kenntnisse in ihren Berufen nur sehr gering oder gar nicht gefragt sei. Vielmehr sei es die Fähigkeit zum analytischen Denken, die den Mathematiker für ein Unternehmen attraktiv mache. ... - darüber waren sich alle einig: Die Berufschancen sind glänzend." [Pressestelle der Universität Heidelberg, 2000]

In welchen Bereichen Mathematiker arbeiten können, habe ich einer Website der Universität Bielefeld entnommen. Dort heißt es:

"Mathematiker und Mathematikerinnen werden in den Bereichen EDV-Herstellung und -Beratung, Ökonomie und Betriebswirtschaft sowie Technik, Ingenieurwissenschaften, Naturwissenschaften und einigen Medizin-Bereichen eingesetzt.

Sie arbeiten bei Versicherungen und Banken, in Software-Häusern und in EDV-Abteilungen großer Konzerne, in öffentlichen Verwaltungen oder z.B. in Chemie- und Pharmafirmen. Sie können im Management mit Personalverantwortung tätig sein oder in Fachabteilungen an Projekten arbeiten oder z.B. Unternehmensberater werden.

Die Möglichkeiten sind ausgesprochen vielfältig, und der Bedarf an gut ausgebildeten Mathematikern steigt immer noch weiter an." [KONFERENZ DER MATHEMATISCHEN FACHBEREICHE, 2007]

Die obigen Aussagen über die Berufsaussichten eines Mathematikers sollen erst mal genügen, um die allgemeine Tendenz solcher Artikel zu demonstrieren.

Ein angehender Student oder Absolvent der Mathematik sieht sich also schon oben auf der Karriereleiter und auf der Sonnenseite des Lebens. Von Mathematik-Professoren und erfolgreichen Vertretern aus der Wirtschaft wird ihm eine interessante Tätigkeit, ein sicherer Arbeitsplatz und zudem die Erfüllung seines persönlichen Lebenstraumes suggeriert.

Mut zu machen, die Studenten zu motivieren, ihr schwieriges Studium durchzuhalten, ist ganz legitim und fördert den Lernwillen. Was ich jedoch bei den obigen Aussagen, die wahrlich nicht singulär sind, vermisse, sind Aussagen über die Ethik des Mathematikers. Das ist ein Thema, mit dem sich Mathematiker sonst nicht auseinandersetzen, die daran gewöhnt sind, sich in abstrakte Strukturen einzudenken und alles, was von seinen Professoren und Dozenten gefordert wird, zu erfüllen. Mit dem Begriff Ethik werden sie nicht konfrontiert, doch ist er für die Kultur einer Gesellschaft von herausragender Bedeutung.

Man könnte es auch so formulieren, wie es jetzt Denk-Usus ist, setze deine mathematischen Fähigkeiten überall dort ein, wo du dafür bezahlt wirst, ordne dich in das System bestehender ökonomischer Strukturen ein und sei ein Rädchen, an dem andere, die dazu die Macht haben, drehen. Mit anderen Worten, der Mathematiker im Beruf wird als nützliches Werkzeug für die Interessen des Unternehmens eingesetzt, hat aber keinerlei Einfluss auf das Produkt seiner Arbeit, ob es nun dazu eingesetzt wird, ungerechte Strukturen in der Gesellschaft zu verfestigen oder den Beschäftigten zu nützen. Durch die unethische Ausbildung des Mathematikers, der aufgrund seines wichtigen Know-hows unentbehrlich ist, der nicht wie ein Leiharbeiter hin- und hergestoßen werden kann, wird den Mathematikern nicht bewusst, dass sie eine tragende Rolle in der kulturellen Entwicklung in der Gesellschaft und in der Geschichte spielen. Ohne sie wäre die heutige Technologie gar nicht möglich.

Ein Mathematiker kann zwar nicht alles Unrecht und alle Ungerechtigkeit in der Welt aufheben, doch für seinen Lebensweg kann er entscheiden, wie er seine guten Fähigkeiten und für wen er sie einsetzt. Dabei sollte ihm klar sein, dass ein glänzendes Gehalt nicht die Schuld aufwiegen kann, die er ansammelt, wenn er seine Kenntnisse bestimmten Menschen, Unternehmen, Regierungen, Organisationen anbietet, die einen unethischen Weg beschreiten. Er kann nicht seine persönliche Verantwortung auf seine Vorgesetzten oder bestimmte Instruktionen abwälzen. Er ist einfach zu intelligent, um solche Ablenkungsmanöver nicht zu durchschauen.

An dieser Stelle kann ich keine Empfehlungen oder Gegen-Empfehlungen für Unternehmensbranchen geben, doch eindeutig sind solche Unternehmen und Institutionen vorzuziehen, deren Ziel und Vorgehensweise auf eine menschliche und soziale Behandlung der Beschäftigten ausgerichtet sind, was vor allem im Umgang bei unternehmerischen Krisensituationen zum Tragen kommt. Wie wird damit umgegangen? Werden die Beschäftigten aus echten Notlagen des Unternehmens entlassen oder wegen besserer Renditen auf dem Kapitalmarkt (Dax-Werte)? Auch was das Unternehmen herstellt oder vertreibt, sollte beachtet werden. Erhalten die Konsumenten durch die Produkte einen gesundheitlichen Schaden, der zwar vom Staat toleriert wird, aber dennoch ein Schaden ist?

Solche ethischen Fragen sollten in die Auswahlkriterien eines ausgebildeten Mathematikers einfließen, der sich um eine Stelle bewirbt.

Eine ethische motivierte Entscheidung kann auch bedeuten, dass der Mitbewerber mit einem Grinsen auf den Lippen den Job erhält, doch ist er seiner ethischen Verantwortung und der Verantwortung vor Gott nicht gerecht geworden. Unter dem Aspekt der Unendlichkeit, die nicht nur in der höheren Mathematik, sondern auch im persönlichen Leben eine große Rolle spielt, sollten die beruflichen Entscheidungen getroffen werden.

Literatur

KONFERENZ DER MATHEMATISCHEN FACHBEREICHE . 2007. Prof. Dr. Kersten, Informationen über mathematische Berufe. [Online] 2007. [Zitat vom: 11. 10. 2008.] http://www.math.uni-bielefeld.de/KMathF/beruf
-
Pressestelle der Universität Heidelberg. 2000. Glänzende Berufsaussichten für Mathematiker . [Online] 13. 10. 2000. [Zitat vom: 11. 10. 2008.] http://www.uni-heidelberg.de/presse/unispiegel/us4_2000/mathe.html.

Wie wird man Mathematiker?

2008-10-10T21:57:00.000-07:00

Auf die Frage, wie man Mathematiker wird, werden vielfältige Antworten gegeben, die eher individuell motiviert sind als dass sie auf wissenschaftlich fundierten Aussagen beruhen. Grundsätzlich kann man sagen, dass das mathematische Verständnis angeboren ist.

„Babies kommen mit einem erstaunlich guten Gefühl für Zahlen zur Welt. Schon direkt nach der Geburt können sie zwischen zwei und drei Objekten unterscheiden.

Ihre Fähigkeiten entwickeln sich rasant und ab dem Alter von sechs Monaten verstehen sie sich - unsichtbar für uns, aber in zahlreichen Versuchen erwiesen - bereits auf erste Rechenoperationen und sind bedingt zu Addition und Subtraktion fähig.

Ein Kind von sechs Monaten ist dabei noch ziemlich ungenau, aber bereits mit neun Monaten erkennt es Unterschiede zwischen zwölf und 16 Objekten.“ (ZDF / 3sat, 2005)

Die Resultate dieser Untersuchung sind sehr erstaunlich, beweisen sie, dass die Mathematik keineswegs ein Buch mit sieben Siegeln zu sein braucht. Diese optimistisch stimmende Ansicht vertritt der Gehirnforscher und Mathematiker Stanislas Dehaene, indem er sagt:

„Denn grundsätzlich kann jeder Mathematik erlernen, es sei denn, der Zahlensinn ist gestört - dieses Phänomen wird Dyskalkulie genannt.“ (ZDF / 3sat, 2005)

Trotzdem gilt die Mathematik in der Bevölkerung als ein "Horrorfach" in der Schule, das man möglichst schnell hinter sich bringen möchte. Es haben sich bestimmte Vorstellungen von Mathematik festgesetzt, die einen Mathematiklehrer nicht gerade erheitert. Ich demonstriere diese These anhand eines Artikels eines Mathematiklehrers, der anschaulich die Schwierigkeiten und Vorurteile gegenüber der Schulmathematik so schildert:

"Ein Bäckermeister erzählte von den Schwierigkeiten mit den Auszubildenden. Das Problem seien weniger Faulheit, Desinteresse usw. (solche Leute sondere man schon in der Probezeit aus) als vielmehr miserabel schlechte Leistungen in der Berufsschule und da insbesondere im Fach Mathematik. Bei einer der derzeitigen Auszubildenden, die ansonsten ganz "anstellig" sei, fehle es schlichtweg im Gehirn an "Speicher".

Woraufhin ein Kinderarzt einen draufsetzte und sagte, er habe inzwischen begonnen, vor der Einstellung von Auszubildenden eine kleine Prüfung abzuhalten. Und er sei doch letztens ziemlich entsetzt gewesen, als (immerhin) eine Realschülerin nicht mal die Prozentrechnung und den Dreisatz beherrscht habe." [Stauff, 1]

Interessant ist, dass die Angehörigen von völlig verschiedenen Berufsgruppen unisono eine bestimmte negative Einstellung gegenüber der in der Schule vermittelten Mathematik haben. Sie beurteilen sie von ihrer praktizierten Warte aus, was natürlich für ihre Tätigkeit nützlich und notwendig ist, verfehlen aber den Anspruch und das Ziel der Geisteswissenschaft Mathematik.
Sie interessieren nicht die eleganten und schöne Beweise, die Deduktion von allgemeinen Fälle auf Spezialfälle, die logischen Vorsetzungen und Schlussverfahren von den Axiomen und Theoremen, die exakte Beschreibung von Naturvorgängen, die Voraussagbarkeit aufgrund mathematischer Modelle, das Abstrahieren von komplexen Zusammenhängen auf die sie bestimmenden Komponenten.

Süffisant resümiert daher unser Leid geprüfte Mathematiker:

"Als Inbegriff von (alltäglich notwendiger) Mathematik werden da Prozentrechnung und Dreisatz angesehen." [Stauff, 1 ibidem]

Dass die Prozentrechnung und der Dreisatz im täglichen Leben eine wichtige Rolle spielen, ist unbestritten. Sie sind in der Mathematik jedoch nur ein winziger Aspekt und fallen in den Bereich einfacher Teilordnungen nach dem Schema, teile etwas durch die Gesamtheit und multipliziere den Bruch mit 100 (Prozent bedeutet lateinisch pro =" für" und centum =" 100).

Der Dreisatz ist eine einfache lineare Funktion nach dem Schema: ordne einer Ausgangsgröße einer bestimmten Wirkgröße zu, beschreibe also einen sachlichen Zusammenhang zwischen einem Definitionsbereich und einem Wertebereich über eine Funktion (Zuordnung), also frei nach dem beliebten Aufgaben: 1 Arbeiter schafft soviel in 1 Stunde, wie viel schaffen 3 Arbeiter?.

Da stelle ich mir die Frage: Was würde wohl der oben zitierte Bäckermeister oder Kinderarzt zu den Ausführungen eines potenziellen Auszubildenen sagen, wenn dieser ihm die ihm vorgelegten Aufgaben, erstens, richtig löst und, zweitens, eine ebenso korrekte zahlentheoretische und funktionale Begründung liefern würde?

Meine Antwort: Sie würden dem Prüfling mit Sicherheit mit einem gewissen Unbehagen begegnen und ihn als "überqualifiziert" für den Job ablehnen.

In der Berufswelt zählen praktische Kenntnisse, die unmittelbar umsetzbar sind. Kein Arbeitgeber ist an theoretischen Erörterungen interessiert, was zählt, ist die Anwendbarkeit auf das betrieblich Erforderliche. Deshalb sind Eltern aus eigener Erfahrung wenig an einer mathematischen Theorie interessiert, die zwar schön ist, wie sie meinen, aber keinen "praktischen" Nutzwerk habe.

Diese Einstellung ist eine Motivationsbremse für die Vermittlung der höheren Mathematik, die nicht auf die unmittelbare praktische Nutzbarkeit zielt. Mathematische Erkenntnisse sind von vornherein losgelöst von einem ökonomischen Kalkül und von Profitabilität, also Kriterien, die in der freien Marktwirtschaft hoch im Kurs stehen. Gewiss sind mathematische Modelle für den praktischen Gebrauch notwendig. So kann kein Unternehmen am Markt bestehen, wenn nicht die Buchhaltung stimmt, die sehr komplex sein kann und gute Fachkräfte braucht. Auch Marktprognosen sind nicht ohne praktische mathematische Anwendungen zu schaffen.

Doch Kultur besteht aus mehr als Zahlen zusammenzurechnen und Gewinne anzuhäufen. Wie ein Künstler das Produkt seiner Hände nach der Fertigstellung begutachtet und sich darüber freut, so ist auch die höhere Mathematik eine Kunst, die Spaß macht, die einem Kreativität gibt und innere Befriedigung. Der Weg zu neuen Erkenntnissen erschließt sich über die höhere Mathematik, die bisweilen sehr anstrengt.

"Bei der Untersuchung der Hirnleistung rechnender Menschen fanden Forscher [...] ihre Vermutung über das Arbeitsgedächtnis bestätigt. Bei allen Probanden leistete es Schwerstarbeit. Das galt besonders für jenen [Gehirn-]Bereich, der sich mit der Zwischenspeicherung räumlich-visueller Informationen beschäftigt; Hirnforscher nennen ihn den »räumlich-visuellen Notizblock«.

Dieser Befund ist insofern bemerkenswert, als Zahlen an sich keine räumlich-visuelle Qualität haben. Eine Neuronengruppe, die gewöhnlich immer dann aktiv wird, wenn wir unsere Finger bewegen, lief ebenfalls heiß.

Offensichtlich hinterlässt die frühkindliche Art des Zählens und Rechnens Spuren im Gehirn: Die gleichen Neuronen, die damals beansprucht wurden, beteiligen sich auch an den Rechenleistungen der Erwachsenen.[...]
Nach eigenem Bekunden strukturiert er [ein sogenannter Rechenkünstler] den Dschungel der Zahlenwelt mit Hilfe visueller Vorstellungen." (Spektrum der Wissenschaft, 6/2001, S. 16f)

Stehen zu bleiben bei praktischen Aufgaben, Anerkennung bei Leute zu erhalten, die sich in ihrem praktischen Denken bestätigt fühlen, die einen Gegensatz zwischen Theorie und Praxis konstruieren und dabei den Begriff Theorie mit einem pejorativen Tonfall belegen, mag zu einem beruflichen Erfolg führen, aber es fehlt hier doch etwas, das darüber hinausgeht, das den Kern der Kultur bildet.

„Mathematik ist die einzige Wissenschaft, welche man "im Kopf" betreiben kann. Im Gegensatz zu anderen Wissenschaften kann man in der Mathematik alles verstehen. Es ist nicht nötig, irgendetwas zu glauben, alles ist nachvollziehbar.“ (Kantonsschule Trogen Appenzell Ausserrhoden, 2006)

Mathematiker wird man erst, wenn man die Stringenz und Schönheit der mathematischen Gedankengänge nachvollziehen und goutieren will, ohne sich dabei über die praktische Umsetzung oder Vermarktung Sorgen zu machen.

Literatur
Kantonsschule Trogen Appenzell Ausserrhoden. 2006. Wieso ist Mathematik spannend ? Fachschaft Mathematik. [Online] 23. 11. 2006. [Zitat vom: 10. 07. 2008.] http://www.kst.ch/mathematik/spannend.html.
-
Spektrum der Wissenschaft. 2001. Wie arbeitet das Gehirn eines Rechenkünstlers? [Online] 01. 06. 2001. http://www.astronomie-heute.de/artikel/827646.
-
Stauff, Heiner. 2008. Mathematik et altera. Anschauliche Mathematik. [Online] 2008. [Zitat vom: 10. 07. 2008.] Studienrat für Deutsch und Mathematik am bischöflichen Gymnasium St. Michael, Ahlen.
Homepage: http://www.stauff.de/index.htm.
[Stauff, 1] http://www.stauff.de/matgesch/dateien/katastrophe.htm]
-
ZDF / 3sat. 2005. Ungeliebte Mathematik. Kinder haben einen guten Zahlensinn. [Online] 06. 2005. [Zitat vom: 10. 07. 2008.] delta-Kontakt in Mainz. http://www.3sat.de/3sat.php?http://www.3sat.de/delta/79278/index.html.

Das Wesen der Mathematik

2008-09-27T02:34:00.000-07:00

"Mathematik [zu griechisch mathēmatikḗ (téchnē), von máthēma »das Gelernte«] (ist) eine der ältesten Wissenschaften ... Der Aufgabenbereich der Mathematik wurde mit der Abstrahierung von der ursprünglichen Bedeutung der untersuchten Objekte wesentlich erweitert und führte zu einer »Wissenschaft von den formalen Systemen« (D. Hilbert)." (Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, 2007)

In dieser Definition ist nichts von "Rechnen" zu lesen, vielmehr wird die Mathematik als eine Wissenschaft von den formalen Systemen bezeichnet, eine für Außenstehende ziemlich befremdliche Anschauung, die so rein gar nichts mit dem in der Schule erworbenen Wissen über Mathematik zu tun hat und abseits der täglichen Anschaulichkeit liegt. Es ist einge ganze Reihe von Definitionen der Mathematik, doch diese hat mir am besten eingeleuchtet. Diese zeigt deutlich, dass die Mathematik eine Geisteswissenschaft ist, keinesfalls zu den Naturwissenschaften zählt, obwohl sie oft in den Universitäten in die naturwissenschaftliche Fakultät platziert wird. Richtig wäre es, sie in der Philosophischen Fakultät anzusiedeln, was bei manchen Studenten dieser Fakultät vielleicht zu einem leichten Grausen führen könnte, doch hat die Mathematik etwas mit einem Erkenntnisprozess zu tun, der nicht auf empirisch überprüfbaren Experimenten beruht, sondern sie geht von bestimmten Axiomen aus und baut darauf ein imposantes System von Theoremen auf, die man gut für den Alltag und die Wissenschaften gebrauchen kann.

Das ist das Interessante an der Mathematik, dass man mit ihr Phänomene der erkennbaren Welt in bestimmte Relationen setzen und quantifizieren kann, so dass aus bekannten Tatsachen auf andere, unbekannte Tatsachen geschlossen werden kann. Aus einem bekannten kleinen Universum kann man auf die Struktur eines anderen Universums schließen, sofern man die dazu notwendigen Regeln korrekt anwendet.

Ein simples Beispiel dazu. Wenn ich einkaufen gehe, muss ich im Voraus abschätzen, ob ich genügend Geld für meine Einkäufe habe. Ich schaue in mein Portmonee und kann aus der Menge des vorhandenen Geldes auf die meine meiner Einkaufswünsche schließen. Dazu muss ich die Summe des Gelds errechnen und mit der Summe der Warenpreise vergleichen, also eine Relation zwischen den beiden Summen setzen, mit anderen Worten, ich habe mich wie ein Mathematiker verhalten und systemimmante Regeln beachtet.

Jetzt stelle ich eine nette, spaßige Definition der "Mackematick" vor:

„Die Mackematick ist die Kunst, mit Zahlen und Formeln die Schulkinder zu verwirren.

Wer diese Kunst auf die Spitze treibt, wird ein Stein [1] und verwirrt damit auch noch hundert Jahre nach seinem Tod sogar Erwachsene durch eine Relativitätstheorie.

Solange man noch Eins und Eins zusammenzählen kann, ist noch keine Mackematick nötig. Aber sobald die Zwei ins Spiel kommt, wird's bösartig: Dann braucht man nämlich eine Theorie, woher diese Zahl kommt und was aus ihr wird (siehe auch Zahlentheorie). Darüber kommt man so ins Grübeln, dass man zu keinen sinnvollen Tätigkeiten mehr brauchbar ist. Der Mediziner spricht dabei von einer Macke. Die Mackematick ist nicht heilbar und hat eine Temperatur von 1 Grad." (Stupipedia, 2008, Mackematick)

Nun sind wir also aufgeklärt über die "Macke" und den "Tick" :-)

Die obige Definition demonstriert die allgemein falsch verstandene Ansicht über die Mathematik als reine Arithmetik und eine Methode bestimmte Formeln auszurechnen. Dieses Denken ist das Ergebnis einer veralteten Mathematik-Didaktik. Würde man sie ändern wollen, wäre eine allgemeine Abwehrfront seitens der Eltern zu erwarten, an die sich dann die meisten Politiker anhängen würden, um damit Stimmen für sich zu sammeln. Nicht die Pädagogen sind schlecht ausgebildet, die Mathematik so darzustellen, was sie eigentlich ist, sondern die Lerntradition der Eltern hemmt eine Umstellung des Mathematik-Unterrichts und die Propagierung eines neuen Zugangs zu dieser schönen Geisteswissenschaft.

Erst an den Universitäten wird die Mathematik so gelehrt, wie es ihrem Anspruch entspricht und so dargestellt, was sie von ihrem Wesen her eigentlich ist.

„Um Mathematik zu studieren, braucht man kein Rechenkünstler oder Computer-Ass zu sein. Studierende der Mathematik sollten aber zu Beginn des Studiums den Spaß und das Interesse an der Mathematik und die Fähigkeit zum abstrakten Denken mitbringen.

Es ist dabei lediglich eine gewisse spezifische Begabung nötig, die allerdings mit der Fähigkeit gepaart sein sollte, ausdauernd und konzentriert arbeiten zu können.

Auch ein gutes geometrisches Vorstellungsvermögen ist sicherlich von Nutzen.

Im Verlauf des Studiums wird ein zunehmendes Maß an Abstraktion erlangt. Zum Ende des Studiums sollten Studierende in der Lage sein, Probleme zu erkennen, zu analysieren, in klarer und übersichtlicher Form niederzuschreiben und darüber mit anderen zu kommunizieren.“ (Heidelberg, 2008)

Die Mathematik wurde von den alten Römern in der Weise behandelt, wie es von einer breiten Bevölkerungsmehrheit heute auch geteilt wird, nämlich als eine praktische Zahlenrechenmethode. Deshalb haben die Römer keinen Beitrag zum Fortschritt der mathematischen Erkenntnis geleistet.

„Im Jahre 44 v. Chr. beklagte sich Marcus Tullius Cicero in seinen Tuskulanischen Gesprächen über den Verfall der Kultur zu seiner Zeit. Er verweist auf die Griechen insbesondere auf deren Verhältnis zur Mathematik:

'Höchster Wertschätzung erfreute sich bei ihnen auch die Geometrie, und deshalb war niemand angesehener als die Mathematiker; wir aber haben den Geltungsbereich dieser Wissenschaft auf den Nutzen beschränkt, den sie uns beim Messen und Rechnen bringt.' " (Werner, 2007)

Sich mit der höheren Mathematik zu beschäftigen, und sei es auf einem kleinen Gebiet, ist die Beschäftigung mit einer hervorragenden Quelle der Erkenntnis von Strukturen. Wer mathematisch denkt, wird differenzierte Fragen stellen und sich nicht mit simplen Antworten begnügen und er wird nachhaken, was wäre, wenn dies und jenes nicht definiert ist. Er würde bei Streitfragen nach den Definitionen der verwendeten Begriffe fragen und nicht auf dumme Propaganda reinfallen, die auf schön klingende Parolen mit mehr oder weniger konkretem Inhalt, ggf. mit menschenverachtenden Aussagen hören.

Sich nur auf das Praktische und Funktionale zu beschränken, macht noch keine Kultur aus. Ich wünschte mir eine Breitenwirkung der strukurellen mathematischen Erkenntnisse, besonders beim Begriff der Unendlichkeit und den Grenzwerten und den Theorien, die damit zu tun haben.

Literatur

Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG. 2007. Meyers Lexikon online. Kategorien: Mathematik/Mathematische Grundlagen. [Online] 2007. [Zitat vom: 10. 07. 2008.]http://lexikon.meyers.de/meyers/Mathematik
-
Heidelberg, Universität. 2008. Anforderungen. Mathematik und Mathematik mit Ausrichtung wissenschaftliches Rechnen. [Online] 10. 07. 2008. [Zitat vom: 19. 07. 2008.] http://www.uni-heidelberg.de/studium/interesse/faecher/mathe.html
-
Stupipedia. 2008. Die Enzyklopädie ohne Sinn - Mathematik. [Online] 2008. [Zitat vom: 10. 07. 2008.] Wissen Sie Bescheid? Nein? Wir auch nicht!. http://www.stupidedia.org/stupi/Mackematick
-
Werner, Bodo. 2007. Universität Hamburg - Warum Mathematik studieren? [Online] 17. 05. 2007. [Zitat vom: 10. 07. 2008.] http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/curricula/warumstudium.html

Anmerkungen
[1] auch Einstein geschrieben

Mengenlehre

2008-09-26T23:08:00.000-07:00

Der Mengenbegriff

Der Mengenbegriff gehört zu den Grundlagen der Mathematik. Er ist von elementarer Natur. Der Pionier der modernen Mengenlehre war Georg Cantor (1845 – 1918).

„Georg Cantor wurde am 3.3.1845 in Sankt Petersburg als Sohn eines wohlhabenden jüdischen Kaufmannes geboren und starb am 6.1.1918 in Halle an der Saale... Nachdem er die Reifeprüfung ... mit Auszeichnung bestanden hatte, studierte er 1862-1867, doch mit väterlicher Erlaubnis, in Zürich, Göttingen und Berlin Mathematik. Nach seiner Promotion (1867 in Berlin) lehrte Cantor bis zu seiner Emeritierung 1913 ... in Halle Mathematik. Er gründete 1890 die Deutsche Mathematikervereinigung.“ [1]

Definition der Menge
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen. [Ebbinghaus, 2003, S. 1; Luh, 1989, S. 1]

Die Zusammenfassung M (Abkürzung von "Menge") kennzeichnen wir durch geschweifte Klammern {...}. Darin werden die Elemente dieser Menge aufgelistet, unabhängig davon, ob es Zahlen, Terme, Buchstaben oder Figuren sind. Bei der Menge ist die Reihenfolge der einzelnen Objekte (Elemente) unwichtig, weshalb zwei Mengen gleich sind, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Doppelt vorhandene gleiche Elemente zählen bei der Menge immer nur als ein Element.

Wenn ein Element zu einer Menge gehört, wird ein bestimmte mathematisches Zeichen benutzt, das einem griechischen epsilon ähnelt [2]. Gehört es nicht zu dieser Menge, streicht man das Symbol längs durch. Diese Vorgehensweise wird häufig in der Mathematik angewandt und ist sehr anschaulich.

Die Mengenlehre ist ein feines Gebiet, in dem man eigentlich gar nicht rechnen braucht. Es werden ja nur Elemente zu Mengen zusammengefasst, zusammengeworfen, getrennt, ausgeschlossen. Dann kann man noch die Elemente einander zuordnen oder auch nicht, also mancherlei Sinn und Unsinn betreiben, wie man gerade lustig ist :-)

Es gab mal ein Versuch, die Mengenlehre auch in der Schule zu lehren, doch sie meisten Schüler und Eltern erwarteten etwas, womit man rechnen könne. Das waren die Eltern von ihrer Schulzeit gewöhnt und das sollte auch so bleiben.

Mathematik bedeutet für die meisten Menschen Rechnerei mit Zahlen, alles, was darüber hinausgeht, erachten sie als überflüssig. Das ist eine Meinung, die ich jedoch nicht teile. Schon gar nicht in diesem Blog, das sich mit der höheren Mathematik befasst. Natürlich ist das elementare Rechnen notwendig, macht aber nicht das Wesen der Mathematik aus.

Ich möchte Ihnen in diesem Blog wenigsten ein paar interessante mathematische Ideen vermitteln, die unmittelbar noch keinen Nutzen haben, sich aber doch als nützlich herausstellen werden. Kommen Sie mit!

Oben hatte ich die Cantorsche Definition der Menge zitiert. In einem Mathematikbuch habe ich eine kürzere Definition der Menge gefunden:

Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung von Objekten. [Hurtado, 2002, S. 6]

Diese Definition hatte auch ich als prägnant und völlig ausreichend empfunden, bevor ich tiefer in die Materie eingedrungen bin. Vergleichen wir die beiden Definitionen miteinander. Es fällt auf, dass Cantor einige Wörter benutzt, die bei Hurtado (Kurzdefinition) fehlen: „wohlunterschieden", „Anschauung", „Denken", „Ganzes".

Das Wort „wohlunterschieden“ ist äußerst wichtig und fehlt in der verkürzten Mengendefinition.

Das möchte ich an einem Beispiel verdeutlichen.

Nehmen wir einmal an, in einer Eierschachtel sind 10 Eier. Nach der Kurzdefinition wären die 10 Eier die Elemente der Menge Eier und zwar genau 10 Elemente.

Stimmt das aber mit der Cantorschen Definition überein?

Jetzt müssen Sie nachdenken und brauchen überhaupt nicht zu rechnen.
Cantor sagt „wohlunterschieden".

Trifft das auf unsere Eier in der Eierschachtel zu?

Nö!

Ein Ei gleicht dem anderen, wenn wir mal von den minimalen Farb-, Größen- oder Formunterschiede absehen. Jedes Eier in der Schachtel bleibt ein Eier seiner Art und ist damit nicht „wohlunterschieden".

Was bedeutet das für uns und die Cantorsche Mengendefinition?

Es ist nur ein Element in der Eierbox vorhanden.

Paradox was?

Ich habe ja nicht geschrieben, es ist ein Ei in der Box, sondern ein Element.

An diesem Beispiel einer auf den ersten Blick einfach aussehenden Definition konnte ich Ihnen demonstrieren, dann man in der Mathematik auf jedes Wort achten muss. Es gibt dort keine Redundanz oder Ungenauigkeiten, und wenn doch, andere Mathematiker werden das schnell aufdecken und korrigieren, da sind die rigoros und müssen es auch sein. Romane werden ja nicht in der Mathematik nicht geschrieben, auch keine Regierungserklärungen mit bewusst schwammigen Begriffen.

Diese Menge enthält also nur ein Element: M = {1, 1, 1, 1, 1}

An der Buchstabengröße (Groß- oder Kleinschreibung) kann man sofort erkennen, ob ein Element oder eine Menge gemeint ist. Dabei ist es egal, ob die beiden Buchstaben gleich lauten. Die unterschiedliche Schreibweise ist nur eine Referenz an den Betrachter, damit er schnell erkennt, was gemeint ist.

Mathematisch gekonnt schreibt man das Ganze so

E = {e}

Die einzelnen Elemente werden in die geschweiften Klammern aufgelistet, davor schreibt man einen beliebigen großen Buchstaben, und schon hat man seine Menge.

Wenn man ausdrücken will, welches Element sich in welcher Menge befindet, nimmt das "komische" Zeichen einer Gabel ohne Stiel. Das ist natürlich nicht willkürlich entstanden, sondern dem griechischen Alphabet entnommen. Der Buchstabe Epsilon ε, unser „e“, sieht fast so aus wie diese Gabel ohne Stiel.

Wenn wir der Mengendefinition von Cantor folgen, wäre es völlig unsinnig gewesen, die Menge E so zu schreiben:

E = {e, e, e, e, e, e, e, e, e, e}

Das Element e ist ja immer gleich, es soll aber „wohlunterschieden" sein, also anders.

Diese Aufzählung der Elemente wäre aber wohlunterschieden:

E = {e1, e2 ,e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10}

Ich glaube der Unterschied ist klar geworden.

Fazit: Traue keiner Definition, die auf den ersten Blick einfach erscheint, aber dennoch zu Unklarheiten führt.

Diese Auffassung wird als extensionale [3] Auffassung bezeichnet. Die gegenteilige Auffassung, die in der Mengenlehre nicht allgemein üblich ist, und die man nicht gebrauchen sollte, heißt intensionale [4] Auffassung. Zwei Vorsilbe (ex, in) und völlig verschiedene Auffassungen.

{7, 7} = {7}

Nach der intensionalen Anschauung wären diese Mengen verschieden. Das ist aber nicht sehr sinnvoll. Wir können die Intensionalität nicht gebrauchen! Sie würde nur die Mengen aufblähen, ohne irgendeinen Nährwert. Die Vorsilbe „ex" beim Begriff Extensionalität hilft uns den sprachlichen Unterschied herauszulesen, merken wir uns einfach, etwas auf „ex" trinken, also raus mit den gleichen Elementen!

Das ist echte Mathematik, man liest die Definition und entscheidet dann, ob alle Kriterien diese Definition bei einer Aufgabe erfüllt sind. Das macht man ja täglich, nur geschieht dies intuitiv und ist tausendfach eingeübt.

Jetzt kann Ihnen keiner mehr was vormachen, was mit Mengen in der Mathematik gemeint. Sie können einen Außenstehenden verblüffen, wenn Sie ihm erzählen, dass in einer Eierbox nicht 10 Elemente, sondern nur ein Element enthalten ist. Oder lieber darüber schweigen, sonst erleben Sie ein wahres Wunder.

Literatur

Ebbinghaus, Heinz-Dieter. 2003. "Einführung in die Mengenlehre." 4. Auflage. Heidelberg, Berlin : Spektrum akademischer Verlag GmbH, 2003. ISBN 3-8274-1411-3 .

Hurtado, F. und A. Quintana et al. 2002. "Wissen auf einen Blick: Mathematik I". Klagenfurt : Neuer Kaiser Verlag GmbH, 2002. Bd. I, Algebra - Geometrie. Anhang mit Übungen und Lösungen.

Luh, Kurt Endl und Wolfgang. 1989. "Analysis I Eine integrierende Darstellung." 9. Auflage. Wiesbaden : Aula-Verlag GmbH, 1989. Studienbuch für Studierende der Mathematik, Physik und anderer Naturwissenschaften ab 1. Semester. ISBN 3-89104-498-4 .

Anmerkungen:

[1] Zitiert nach Lernplattform für Schüler im Internet. Mathematiker. Die Lerncommunity des Cornelsen Verlag GmbH & Co. oHG. [Online] [Zitat vom: 10. 08. 2008.] www.learnetix.de. (Lernplattform für Schüler im Internet)
[2] Mathematische Symbole kann ich hier im Blog nicht darstellen. Deshalb werde ich ohne sie auskommen (müssen) und dem Leser mit Beschreibungen die mathematischen Zusammenhänge zeigen. Dieser Blog ist ja kein Mathematikbuch oder ein Ersatz desselben, sondern eine Einführung in das Denken, das hinter der höheren Mathematik steckt.

[3] extensional = ausgespannt. Man ignoriert einfach die gleichen Elemente einer Menge, beachtet sie nicht, betrachtet sie wie ein Element.

[4] intensional = eingespannt, besonders betont, hervorgehoben. Obwohl gleiche Elemente vorhanden sind, sollen diese als verschieden betrachtet werden, ein nicht sehr sinniges Konzept

Vorwort

2008-09-26T22:06:00.000-07:00

Die Welt der Mathematik hat mich immer wieder in Erstaunen versetzt, vor allem bewundere ich die Menschen, die mühelos die abstrakten Ideen schnell begreifen und damit gut umgehen können.

Ich arbeite als Anwendungsprogrammierer und habe so manche Programme geschrieben, die die tägliche Arbeit im Unternehmen erleichtern. Komplizierte mathematische Denkmodelle wie während meines Studiums der Volkswirtschaftlehre brauche ich da nicht, vielmehr bin ich damit beschäftigt, für bestimmte Aufgabenstellungen programmtechnische Lösungen zu erarbeiten und dann in einem Programm umzusetzen. Als Praktiker gehe ich beruflich von der anderen Seite an die Mathematik heran, was man gewöhnlich mit Rechnen bezeichnet.

Das ist aber letztlich nicht das Wesen der Mathematik. Das im Ansatz falsche Denken über die Mathematik als einer Wissenschaft von den Zahlen und des Rechnens möchte ich korrigieren und dem Leser über den Sinn und die Essence der Mathematik aufklären, was in der Schule so nicht vermittelt wird. Eine richtige Denkweise wird zu richtigen Erkenntnissen und Lösungen führen.

Doch zuerst ein Rat an jene, die die Mathematik wie eine (Fremd)Sprache betrachten, die man in kurzer Zeit erlernen kann, indem man sein Gedächtnis anstrengt und einige immer wieder kehrende grammatische Regeln anwendet. Das ist nicht der Fall!

Die sogenannten Savants, die mit erstaunlichen Gedächtnisleistungen vielstellige Zahlen multiplizieren, radizieren oder sonstige wirklich beeindruckende Kunststücke vorführen können, sind deshalb noch lange keine Mathematiker, denn, was sie dem Publikum präsentieren, gehört in der Teilgebiet der Arithmetik. Man muss sich von dem Vorurteil befreien, die Mathematik sei nur zum Rechnen da.

Die höhere Mathematik stellt eine echte Herausforderung an das Denken und erfordert viel Disziplin und vor allem das Ertragen von Frustration. Auch die großen Mathematiker haben einmal klein angefangen, was sie auszeichnet, ist, dass sie sich von Rückschlägen, Denkblockaden und partiellem Unverständnis bestimmter mathematischer Sätze nicht davon abbringen ließen, weiter zu machen und durchzuhalten.

Auch beim Programmieren macht man immer wieder die Erfahrung von Frustration, wenn das Programm nicht so arbeitet, wie es soll, obwohl es eigentlich "richtig" ist. Aber irgendwo muss doch eine "Denkfalle" oder eine nicht berücksichtigte Konstellation sein, die zu einem anderen Ergebnis führt, als dies angedacht war. Doch wer dann aufgibt, wird die meist kleine, aber doch ärgerliche "Unschärfe", oder anders ausgedrückt den undefinierten Zustand im Programm, nicht lokalisieren und beheben oder er hat den Beruf verfehlt.

Ich habe gelernt, am Thema dranzubleiben und trotz mancher Rückschläge neue Lösungsansätze zu finden. Diese Beharrlichkeit braucht man auch für die höhere Mathematik, wo es allerdings, wie schon erwähnt, nicht so sehr auf Rechenvorgänge ankommt, die jedoch nicht vernachlässigt werden dürfen, sondern um analytische Fähigkeiten aufgrund vorgegebener Definitionen fortzuschreiten zu neuen Erkenntnissen und vorgegebene Sätze zu beweisen.

Ingenieure wollen mit Formeln und Rechenverfahren umgeben, denn sie müssen von Berufs wegen damit umgehen, Mathematiker hingegen liefern ihnen die entsprechenden theoretischen Grundlagen. Der Reiz der höheren Mathematik liegt gerade in seiner für Außenstehende große Abstraktheit und Theorie.

Ich habe von vielen gehört, die auf die Theoretiker schimpfen, aber selbst von den Ergebnissen der von ihnen geschaffenen Theorien profitieren. Dazu brauche ich keine Beispiele aufführen.

Wer ernsthaft an der höheren Mathematik interessiert ist, sollte sich nicht von seinem Wunsch abbringen lassen, weder durch abfällige Bemerkungen, durch selbst erlebte Frustrationen in der Schule, durch einfachere Wege, einen Beruf zu ergreifen und Geld zu verdienen. Die Begeisterung an der Mathematik wird von vielen nicht geteilt, doch werden mathematische Leistungen im Allgemeinen gewürdigt. Nicht zu vergessen die eigenen Erfolgserlebnisse, eigenständig schwierige Probleme selbst gelöst zu haben.

"Für mich hingegen (wie die meisten) war das Studium immer wieder eine arge Plackerei mit vielen Misserfolgserlebnissen und endloser Arbeitszeit.

Ich musste all die Mathebücher Mini-Schritt für Mini-Schritt durcharbeiten ... was ich in der Form getan habe, dass ich andauernd in die Bücher Zettelchen mit fehlenden Erklärungen eingeklebt habe, so dass die Bücher hinterher mehr als doppelt so dick wie anfangs waren und an den Buchrücken schon auseinander brachen;

oftmals musste ich also stunden-, wenn nicht gar tagelang "rumprobieren", bis ich die "missing links" in nur drei Zeilen eines Buchs ergänzen konnte ...
Und auch ich war mehrfach versucht, den ganzen Krempel hinzuwerfen und das Studienfach zu wechseln...

Mir hat insgesamt die Mathematik dennoch Spaß gemacht." (Stauff, 2008, Tunnelblick)

Um als Mathematik-Student Erfolg zu haben, braucht man also einen langen Atem. Das Studium fordert einen heraus. Es wird einem nichts geschenkt. Es ist eine echte Herausforderung an den eigenen Willen und an die Psyche. Theoretische Konstrukte kann man erst durchschauen, wenn man alle störenden Einflüsse von außen und vor allem von innen angeht. Besonders das Unbewusste will weg von dem Unbekannten und Unverstandenen, das so gar nichts mit der täglichen Erlebniswelt zu tun hat.

Da haben es z.B. die Studenten der Philosophischen Fakultät besser, die sich mit Themen beschäftigen, die im halbwegs "normalen" Erlebnisrahmen liegen. Vielfach braucht man hier nur sein Gedächtnis anzustrengen und dann die richtige Worte wählen. Das kann ich gut beurteilen, da ich selbst dort orientalische Sprachen studiert habe.

In der Mathematik ist das ganz anders. Sie ist total ungewohnt und entzieht sich oft der Anschaulichkeit. Was mich alledings anfangs so gestört hat, ist die "Sprachlosigkeit" der Mathematiker. Sie denken in bestimmten Strukturen und formulieren sie derart knapp, dass Außenstehende nichts verstehen. Als großen Mangel habe ich empfunden, dass die meisten Mathematikbücher ebenfalls in dieser Art und Weise geschrieben sind. Aus diesem Mangel habe ich den Schluss gezogen, selbst tätig zu werden und ein Mathematikbuch zu schreiben, das ich erstens selbst verstehe :-) und das zweitens auch von anderen verstanden wird, die sich tiefer mit der Mathematik auseinandersetzen möchten und zu neuen Erkenntnissen gelangen möchten.

Sich mit der Mathematik zu beschäftigen bedeutet auch, sich mit sich selbst zu beschäftigen und zur inneren Ruhe zu gelangen und sich in fremde Strukturen einzuarbeiten, die auch für die Praxis enorme Vorteile haben. Die mathematische Denkweise kann man ja auch bei anderen Aufgaben im täglichen Leben oder dem Beruf nutzen.

Wer Probleme hat, sich zu konzentrieren oder wer trotz seiner Absicht, beim Thema zu bleiben, doch gerne etwas Anderes tun möchte, wer lieber Musik hören möchte, ausgehen möchte oder andere Zerstreuungen suchen möchte, kurz gesagt, wessen Innenleben aufgewühlt ist und zur Zerstreuung tendiert, wird kaum die höhere Mathematik begreifen. Sie wird für ihn immer ein Schreckgespenst bleiben, über das man gut in Gesellschaft lästern kann, weil man Gleichgesinnte gefunden hat. Für die Mathematik braucht man einen klaren, ungetrübten Blick und viel Ausdauer.

Bei den einen kommen die mathematischen Fähigkeiten früher, bei den anderen später. Niemand ist zu "alt", sich mit der Mathematik zu beschäftigen. Bei mir hat die Lust auf höhere Mathematik im "höheren" Alter (wieder) eingesetzt. Mit fünfzig Jahren, dem Anfang meiner mathematischen Studien, hatte mich der Ehrgeiz gepackt, es zu versuchen und in dieses schöne Gebiet der Wissenschaft einzusteigen und die Schönheit der mathematischen Strukturen und Denkweisen zu erleben.

Per aspera ad astra [1], sagten die alten Römer.

Wenn Sie mit mir auf die mathematische Entdeckungsreise gehen möchten, stellen Sie sich auf eine schwierige und vor allem langwierige Strecke ein. Soweit meine Kenntnisse reichen, werden ich sie Ihnen mitteilen.

Darauf freue ich mich!

Literatur

Stauff, Heiner. 2008. Mathematik et altera. Anschauliche Mathematik. [Online] 2008. [Zitat vom: 10. 07. 2008.] Studienrat für Deutsch und Mathematik am bischöflichen Gymnasium St. Michael, Ahlen. http://www.stauff.de/index.htm

Anmerkungen
[1] Durch die rauen Dinge zu den Sternen.

Alle Angaben in den vom Autor veröffentlichten Dokumenten und Graphiken wurden nach bestem Wissen und Gewissen gemacht. Trotzdem kann er hierfür keine Haftung übernehmen. Wenn Sie Informationen aus diesem Blog / dieser Webseite nutzen oder weitergeben, tun Sie das grundsätzlich auf eigene Gefahr. Schadenersatzansprüche jeglicher Art sind grundsätzlich ausgeschlossen.

Wichtiger Hinweis zu allen Links:
Mit Urteil vom 12. Mai 1998 - 312 O 85/98 - “Haftung für Links” hat das Landgericht (LG) Hamburg entschieden, dass man durch die Anbringung eines Links, die Inhalte der gelinkten Seite ggf. mit zu verantworten hat. Dies kann - so das LG - nur dadurch verhindert werden, dass man sich ausdrücklich von diesen Inhalten distanziert. Hiermit distanziere ich mich ausdrücklich von allen Inhalten aller gelinkten Seiten auf meiner Website / meinem Blog und mache mir diese Inhalte nicht zu eigen. Diese Erklärung gilt für alle auf dieser Website / Blog angebrachten Links.