Mengenlehre

Der Mengenbegriff

Der Mengenbegriff gehört zu den Grundlagen der Mathematik. Er ist von elementarer Natur. Der Pionier der modernen Mengenlehre war Georg Cantor (1845 – 1918).

„Georg Cantor wurde am 3.3.1845 in Sankt Petersburg als Sohn eines wohlhabenden jüdischen Kaufmannes geboren und starb am 6.1.1918 in Halle an der Saale... Nachdem er die Reifeprüfung ... mit Auszeichnung bestanden hatte, studierte er 1862-1867, doch mit väterlicher Erlaubnis, in Zürich, Göttingen und Berlin Mathematik. Nach seiner Promotion (1867 in Berlin) lehrte Cantor bis zu seiner Emeritierung 1913 ... in Halle Mathematik. Er gründete 1890 die Deutsche Mathematikervereinigung.“ [1]

Definition der Menge
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die „Elemente“ von M genannt werden) zu einem Ganzen. [Ebbinghaus, 2003, S. 1; Luh, 1989, S. 1]

Die Zusammenfassung M (Abkürzung von "Menge") kennzeichnen wir durch geschweifte Klammern {...}. Darin werden die Elemente dieser Menge aufgelistet, unabhängig davon, ob es Zahlen, Terme, Buchstaben oder Figuren sind. Bei der Menge ist die Reihenfolge der einzelnen Objekte (Elemente) unwichtig, weshalb zwei Mengen gleich sind, wenn sie die gleichen Elemente enthalten. Doppelt vorhandene gleiche Elemente zählen bei der Menge immer nur als ein Element.

Wenn ein Element zu einer Menge gehört, wird ein bestimmte mathematisches Zeichen benutzt, das einem griechischen epsilon ähnelt [2]. Gehört es nicht zu dieser Menge, streicht man das Symbol längs durch. Diese Vorgehensweise wird häufig in der Mathematik angewandt und ist sehr anschaulich.

Die Mengenlehre ist ein feines Gebiet, in dem man eigentlich gar nicht rechnen braucht. Es werden ja nur Elemente zu Mengen zusammengefasst, zusammengeworfen, getrennt, ausgeschlossen. Dann kann man noch die Elemente einander zuordnen oder auch nicht, also mancherlei Sinn und Unsinn betreiben, wie man gerade lustig ist :-)

Es gab mal ein Versuch, die Mengenlehre auch in der Schule zu lehren, doch sie meisten Schüler und Eltern erwarteten etwas, womit man rechnen könne. Das waren die Eltern von ihrer Schulzeit gewöhnt und das sollte auch so bleiben.

Mathematik bedeutet für die meisten Menschen Rechnerei mit Zahlen, alles, was darüber hinausgeht, erachten sie als überflüssig. Das ist eine Meinung, die ich jedoch nicht teile. Schon gar nicht in diesem Blog, das sich mit der höheren Mathematik befasst. Natürlich ist das elementare Rechnen notwendig, macht aber nicht das Wesen der Mathematik aus.

Ich möchte Ihnen in diesem Blog wenigsten ein paar interessante mathematische Ideen vermitteln, die unmittelbar noch keinen Nutzen haben, sich aber doch als nützlich herausstellen werden. Kommen Sie mit!

Oben hatte ich die Cantorsche Definition der Menge zitiert. In einem Mathematikbuch habe ich eine kürzere Definition der Menge gefunden:

Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung von Objekten. [Hurtado, 2002, S. 6]

Diese Definition hatte auch ich als prägnant und völlig ausreichend empfunden, bevor ich tiefer in die Materie eingedrungen bin. Vergleichen wir die beiden Definitionen miteinander. Es fällt auf, dass Cantor einige Wörter benutzt, die bei Hurtado (Kurzdefinition) fehlen: „wohlunterschieden", „Anschauung", „Denken", „Ganzes".

Das Wort „wohlunterschieden“ ist äußerst wichtig und fehlt in der verkürzten Mengendefinition.

Das möchte ich an einem Beispiel verdeutlichen.

Nehmen wir einmal an, in einer Eierschachtel sind 10 Eier. Nach der Kurzdefinition wären die 10 Eier die Elemente der Menge Eier und zwar genau 10 Elemente.

Stimmt das aber mit der Cantorschen Definition überein?

Jetzt müssen Sie nachdenken und brauchen überhaupt nicht zu rechnen.
Cantor sagt „wohlunterschieden".

Trifft das auf unsere Eier in der Eierschachtel zu?

Nö!

Ein Ei gleicht dem anderen, wenn wir mal von den minimalen Farb-, Größen- oder Formunterschiede absehen. Jedes Eier in der Schachtel bleibt ein Eier seiner Art und ist damit nicht „wohlunterschieden".

Was bedeutet das für uns und die Cantorsche Mengendefinition?

Es ist nur ein Element in der Eierbox vorhanden.

Paradox was?

Ich habe ja nicht geschrieben, es ist ein Ei in der Box, sondern ein Element.

An diesem Beispiel einer auf den ersten Blick einfach aussehenden Definition konnte ich Ihnen demonstrieren, dann man in der Mathematik auf jedes Wort achten muss. Es gibt dort keine Redundanz oder Ungenauigkeiten, und wenn doch, andere Mathematiker werden das schnell aufdecken und korrigieren, da sind die rigoros und müssen es auch sein. Romane werden ja nicht in der Mathematik nicht geschrieben, auch keine Regierungserklärungen mit bewusst schwammigen Begriffen.

Diese Menge enthält also nur ein Element: M = {1, 1, 1, 1, 1}

An der Buchstabengröße (Groß- oder Kleinschreibung) kann man sofort erkennen, ob ein Element oder eine Menge gemeint ist. Dabei ist es egal, ob die beiden Buchstaben gleich lauten. Die unterschiedliche Schreibweise ist nur eine Referenz an den Betrachter, damit er schnell erkennt, was gemeint ist.

Mathematisch gekonnt schreibt man das Ganze so

E = {e}

Die einzelnen Elemente werden in die geschweiften Klammern aufgelistet, davor schreibt man einen beliebigen großen Buchstaben, und schon hat man seine Menge.

Wenn man ausdrücken will, welches Element sich in welcher Menge befindet, nimmt das "komische" Zeichen einer Gabel ohne Stiel. Das ist natürlich nicht willkürlich entstanden, sondern dem griechischen Alphabet entnommen. Der Buchstabe Epsilon ε, unser „e“, sieht fast so aus wie diese Gabel ohne Stiel.

Wenn wir der Mengendefinition von Cantor folgen, wäre es völlig unsinnig gewesen, die Menge E so zu schreiben:

E = {e, e, e, e, e, e, e, e, e, e}

Das Element e ist ja immer gleich, es soll aber „wohlunterschieden" sein, also anders.

Diese Aufzählung der Elemente wäre aber wohlunterschieden:

E = {e1, e2 ,e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10}

Ich glaube der Unterschied ist klar geworden.

Fazit: Traue keiner Definition, die auf den ersten Blick einfach erscheint, aber dennoch zu Unklarheiten führt.

Diese Auffassung wird als extensionale [3] Auffassung bezeichnet. Die gegenteilige Auffassung, die in der Mengenlehre nicht allgemein üblich ist, und die man nicht gebrauchen sollte, heißt intensionale [4] Auffassung. Zwei Vorsilbe (ex, in) und völlig verschiedene Auffassungen.

{7, 7} = {7}

Nach der intensionalen Anschauung wären diese Mengen verschieden. Das ist aber nicht sehr sinnvoll. Wir können die Intensionalität nicht gebrauchen! Sie würde nur die Mengen aufblähen, ohne irgendeinen Nährwert. Die Vorsilbe „ex" beim Begriff Extensionalität hilft uns den sprachlichen Unterschied herauszulesen, merken wir uns einfach, etwas auf „ex" trinken, also raus mit den gleichen Elementen!

Das ist echte Mathematik, man liest die Definition und entscheidet dann, ob alle Kriterien diese Definition bei einer Aufgabe erfüllt sind. Das macht man ja täglich, nur geschieht dies intuitiv und ist tausendfach eingeübt.

Jetzt kann Ihnen keiner mehr was vormachen, was mit Mengen in der Mathematik gemeint. Sie können einen Außenstehenden verblüffen, wenn Sie ihm erzählen, dass in einer Eierbox nicht 10 Elemente, sondern nur ein Element enthalten ist. Oder lieber darüber schweigen, sonst erleben Sie ein wahres Wunder.

Literatur

Ebbinghaus, Heinz-Dieter. 2003. "Einführung in die Mengenlehre." 4. Auflage. Heidelberg, Berlin : Spektrum akademischer Verlag GmbH, 2003. ISBN 3-8274-1411-3 .

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Hurtado, F. und A. Quintana et al. 2002. "Wissen auf einen Blick: Mathematik I". Klagenfurt : Neuer Kaiser Verlag GmbH, 2002. Bd. I, Algebra - Geometrie. Anhang mit Übungen und Lösungen.

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Luh, Kurt Endl und Wolfgang. 1989. "Analysis I Eine integrierende Darstellung." 9. Auflage. Wiesbaden : Aula-Verlag GmbH, 1989. Studienbuch für Studierende der Mathematik, Physik und anderer Naturwissenschaften ab 1. Semester. ISBN 3-89104-498-4 .

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Anmerkungen:

[1] Zitiert nach Lernplattform für Schüler im Internet. Mathematiker. Die Lerncommunity des Cornelsen Verlag GmbH & Co. oHG. [Online] [Zitat vom: 10. 08. 2008.] www.learnetix.de. (Lernplattform für Schüler im Internet)
[2] Mathematische Symbole kann ich hier im Blog nicht darstellen. Deshalb werde ich ohne sie auskommen (müssen) und dem Leser mit Beschreibungen die mathematischen Zusammenhänge zeigen. Dieser Blog ist ja kein Mathematikbuch oder ein Ersatz desselben, sondern eine Einführung in das Denken, das hinter der höheren Mathematik steckt.

[3] extensional = ausgespannt. Man ignoriert einfach die gleichen Elemente einer Menge, beachtet sie nicht, betrachtet sie wie ein Element.

[4] intensional = eingespannt, besonders betont, hervorgehoben. Obwohl gleiche Elemente vorhanden sind, sollen diese als verschieden betrachtet werden, ein nicht sehr sinniges Konzept